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Para construir la fórmula de Schrödinger se debe supone que un electrón se comporta como una onda estacionaria. Se puede asemejar a una partícula en una caja, o a una cuerda fija en sus extremos. La onda asociada es tal, que cuando el electrón vuelve a un punto se encuentra en concordancia de fase con respecto a la vez anterior que se encontró en ese punto. Por todo ello se debe cumplir que:

  • \frac{n\cdot \lambda}{2}=L
  • \Psi = \sin \left ( \frac{2\pi x}{\lambda} \right ) = \sin \left ( \frac{n\pi x}{L} \right )
  • \frac{h^2}{8\pi ^2 m} \left ( \frac{d^2\Psi}{dx^2}\right ) =E\Psi
  • E(n)=\frac{n^2 h^2}{8\cdot m\cdot L^2}

es decir:

\frac{-h^2}{8\pi ^2 m } \left ( \left ( \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} \right ) + \left ( \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial y^2} \right ) + \left ( \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial z^2} \right ) \right ) = E \Psi

De la misma forma que uno onda estacionaria como la de arriba, se puede realziar la formulación cuántica de los átomos hidrogenoides. Si se tiene un único electrón sometido a la atracción de un núcleo fijo, localizado en el origen de coordenadas con carga +Z e. El electrón se sitúa a una distancia r del núcleo y está sometido a la atracción columbiana del mismo. La energía potencial del elecrón, debida a la interacción con el núcleo es:

V=-\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon _0 r}

por lo tanto la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno es:

\frac{-h^2}{8\pi ^2 m } \left ( \left ( \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} \right ) + \left ( \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial y^2} \right ) + \left ( \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial z^2} \right ) \right ) -\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon _0 r} \Psi = E \Psi

o cambiando la parte central por el operador nabla:

\left ( \frac{-h^2}{8\pi ^2 m } \nabla ^2 - \frac{Ze^2}{4\pi \epsilon _0 r} \right ) \Psi = E \Psi

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